General_Relativity

关于广义相对论的一点数学知识和概念

等效原理

弱等效原理：引力场与惯性场的力学效应是局域不可区分的
强等效原理：引力场和惯性场的一切物理效应是局域不可区分的
惯性系：在引力场中自由下落的无自转的无穷小的参考系

黎曼几何和张量分析

在SR下的定义（lorentz变化）

$$x^{\prime}{\mu}=a{\mu \nu}x_{\nu}dx_{\nu}=(a^{-1}){\nu \mu}dx^{\prime}{\mu} $$ a a^{- 1} = I $ (坐标变化线性正交) 标量：坐标变化下不变矢量：坐标变化下和坐标微分元一样变的量 .$ {V^{\prime}{\mu}=a{\mu \nu}V_{\nu}}{dV^{\prime}{\mu}=a{\mu \nu}dV_{\nu}} $张量：坐标变化下, 按如下变化的：$ T^{\prime}{\mu \nu}=a{\mu \alpha}a_{\nu \beta}T_{\alpha \beta}$$

在GR下的定义（广义坐标变化）

$x^{' μ} = x^{' μ} (x^{ν})$ ,坐标变化既不正交也不线性
$d x^{' μ} = \frac{\partial x^{' μ}}{\partial x^{ν}} d x^{ν}$
标量：在广义坐标变化下不变的量
矢量：在广义坐标变化下和坐标微分元一样变的量（逆变和协变之分）
张量： $T^{' μ ν} = \frac{\partial x^{' μ}}{\partial x^{α}} \frac{\partial x^{' ν}}{\partial x^{β}} T^{α β}$ (逆变协变之分)

克罗内克尔符号：二阶混合张量（证明）

张量代数

缩并,对称性

平移和联络

联络定义矢量的平移（计算）
i）联络不是张量
ii）两个联络之差是张量
iii）联络的反对称部分是张量

协变微商

标量场的协变微商就是普通微商,且结果是逆变矢量
协变矢量的协变微商：$$A_{\mu ; \nu}=A_{\mu , \nu}-\Gamma^{\lambda}{\mu \nu}A{\lambda} $逆变矢量的协变微商：$ A^{\mu}{ ; \nu}=A^{\mu}{ , \nu}+\Gamma^{\mu}_{\lambda \nu}A^{\lambda}$$

再用莱布尼兹可以算出其他张量的微商

测地线和仿射参量

曲线的参数方程： $x^{μ} = x^{μ} (λ)$

切矢： $A^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d λ}$

要求矢量平移后方向相同,可以得到测地线方程：
$\frac{d^{2} x^{μ}}{d σ^{2}} + Γ_{α β}^{μ} \frac{d x^{α}}{d σ} \frac{d x^{β}}{d σ} = 0$

曲线上两点平移后切矢量重合,该曲线是测地线。

曲率与绕率

两者之差：$$A_{\lambda ; \mu ; \nu}-A_{\lambda ; \nu ; \mu}=R^{\rho}{\lambda \mu ; \nu}A{\rho}-2\Gamma^{\rho}{[\nu \mu]}A{\lambda ; \rho}$$
前者曲率,后者绕率
绕率：矢量平移一周后不能形成封闭空间,空间是扭曲的
曲率：矢量平移一周后会有角度差

曲率的性质

i）后一对指标反对称
ii）两种独立的缩并方式（13缩并,12缩并）

度规和距离

平直时空： $g_{μ ν}$ 是对角元-1和1

度规能升降指标
矢量的平移：计算联络
平移切矢方向不变：计算出测地线
平移长度不变：计算联络（克式符）
$$\Gamma^{\alpha}{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\alpha \lambda}(g{\mu \lambda , \nu}+g_{\nu \lambda , \mu}-g_{\mu \nu , \lambda}) $度规的协变微商等于 0 在一个无绕空间, 总能找到一个坐标变化, 将时空任意一点的克式符变为 0 短程线：对两点曲线做变分, 计算欧拉拉格朗日方程$ \frac{d^{2}x^{\mu}}{ds^{2}}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}=0$$

黎曼时空的曲率张量

$$R^{\rho}{\lambda [\mu \nu]} $i ）后一对指标反对称 i i ）存在两种缩并克式符下的曲率张量的对称性$ R{\rho \lambda \mu \nu}=g_{\rho \sigma}R^{\sigma}{\lambda \mu \nu} $i) 后一对指标反对称 i i ）前一对指标反对称 i i i ）前一对指标与后一对指标对称 i i i i ）里奇恒等式：$ R^{\rho}{\lambda \mu \nu}+R^{\rho}{\mu \nu \lambda}+R^{\sigma}{\nu \lambda \mu}=0 $(后三个指标轮转) 三个重要派生张量：里奇张量：$ R_{\mu \nu} $(缩并得到) 曲率标量： R （再次缩并）爱因斯坦张量：$ G_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}R $毕安基恒等式：（后三个指标轮转的协变微商）$ G^{\mu \nu}{ ; \nu}=0(R{\mu \nu}-\frac{1}{2}R)^{ ; \nu}=0$$

重要运算

度规的微分,广义相对论就是算度规的一阶导数和二阶导数（度规-联络-曲率）

特殊的克式符：$$\Gamma^{\mu}{\alpha \mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(\ln \sqrt{-g}) $散度运算：$ div A^{\mu}=A^{\mu}{ ; \mu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}(\sqrt{-g}A^{\mu}) $达郎贝尔算符 :$ \Box=div(grad\Psi) $旋度运算 :$ A_{\mu ; \nu}-A_{\nu ; \mu}=A_{\mu , \nu}-A_{\nu , \mu}$$

爱因斯坦方程

坐标时和固有时的区别
坐标时： $t = \frac{x^{0}}{c}$ ,没有意义,用与计算和逻辑分析

固有时： $d s^{2} = g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}$ , $d T = \frac{i d s}{c} = d τ$

两者联系： $d τ = \sqrt{- g_{00}} d t$

这也是地球太阳时间间隔区别,太阳附近要乘以太阳的度规： $g_{00}$

能量动量张量：
电磁场：$$T^{\mu \nu}=\frac{1}{4\pi}(F^{\mu}{\lambda}F^{\lambda \nu}-\frac{1}{4}g^{\mu \nu}F{\rho \lambda}F^{\rho \lambda})$$

理想流体： $T^{μ ν} = (ρ + \frac{P}{c^{2}}) u^{μ} u^{ν} + P g^{μ ν}$

松散介质,非相对论理想流体： $T^{μ ν} = ρ u^{μ} u^{ν}$

坐标条件和边界条件:

协和坐标系： $g^{μ ν} Γ_{μ ν}^{λ} = 0$

应用

史瓦西解

静态球对称物体,解出度规：
$d s^{2} = - c^{2} (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}) d t^{2} + (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} s i n^{2} θ d ϕ^{2}$
地球上的钟: $d τ_{2}$

太阳上的钟: $d τ_{1}$

两者差距 $g_{00}$ :
$d τ_{2} = (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r})^{- 1 / 2} d τ_{2}$
引力红移: $v = v_{0} \sqrt{1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}}$
水星进动
史瓦西黑洞：静态球对称
克尔纽曼黑洞：带电旋转